关于椭圆的研究
点到椭圆的距离
平面内任意一点P到椭圆E的最短与最长距离，其实质是以点P为圆心，与E相切的两个圆的半径。具体的求解过程利用如下事实，假设椭圆与圆的切点为Q，构造直线PQ，PQ与Q点在椭圆的切向量垂直，再联立椭圆方程，便可求出直线PQ与椭圆的交点。通过化简最后得到一个一元四次方程，所以其精确解是求一元四次方程的根，可以分解为如下形式去求解
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\begin{align}x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+p_1x+q_1)(x^2+p_2x+q_2)\end{align}
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关于最短距离，也可以用其他方法去近似，毕竟求解一元四次方程的代价是昂贵的，大概有两个办法去近似，这在halcon中的dist_ellipse_contour_xld 算子也有提到，一种是使用PF1+PF2-2a代替；一种是使用点P与点Q的距离代替，Q为PF1、PF2的角平分线与椭圆交点。其中F1、F2是椭圆的两个焦点。此外还有一种办法，就是Sampson Error，定义如下
椭圆周长
椭圆周长公式如下，实际上是一个定积分计算，不会计算的可以使用boost库， 除了能够得到椭圆周长的精确值，定积分的计算也可以解决椭圆等分问题，等分之后，椭圆每一段的弧长都相等，这在建立椭圆卡尺时很有用。
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\begin{align} C&=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2sin^{2}(\theta)+b^2cos^{2}(\theta)}d\theta\\ &=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2(1-cos^{2}(\theta))+b^2cos^{2}(\theta)}d\theta\\ &=4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-e^2cos^{2}(\theta)}d\theta \\
&=4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-e^2sin^{2}(\theta)}d\theta\end{align}
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椭圆拟合
opencv里的椭圆拟合函数并不是很好使，参照文献Numerically Stable Direct Least Squares Fitting of Ellipses实现会好很多，该方法是数值稳定的，对于只占椭圆很小一段比例的圆弧效果很好。
